Формула для обчислення розподілу Т студента
Формула для розрахунку розподілу Т (яка також відома в народі як Розподіл Т Стьюдента) показана як Віднімання середнього показника популяції (середнього значення другої вибірки) із середнього значення вибірки (середнього значення першого зразка), тобто [х-бар - μ], який потім ділиться на середнє квадратичне відхилення середніх значень, яке спочатку ділиться на квадратний корінь з n, що є кількістю одиниць у цій вибірці [s ÷ √ (n)].
Розподіл Т - це свого роду розподіл, який виглядає майже як нормальна крива розподілу або крива дзвона, але з трохи жирнішим і коротшим хвостом. Коли обсяг вибірки невеликий, тоді цей розподіл буде використовуватися замість нормального розподілу.
Де,
- x̄ - середнє значення вибірки
- μ - середнє населення
- s - стандартне відхилення
- n - розмір даної вибірки
Розрахунок розподілу Т
Розрахунок розподілу t студента досить простий, але так, значення потрібні. Наприклад, потрібне середнє значення сукупності, що означає всесвіт, яке є нічим іншим, як середнім показником популяції, тоді як середнє значення вибірки потрібне для перевірки справжності популяційного значення, чи справді твердження, заявлене на основі сукупності, є правдивим, і вибірка, якщо така взята представлятиме те саме твердження. Отже, формула розподілу t тут віднімає середнє значення вибірки від середнього значення сукупності, а потім ділить його на стандартне відхилення та кратні квадратному кореню розміру вибірки для стандартизації значення.
Однак, оскільки для обчислення розподілу t немає діапазону, значення може стати дивним, і ми не зможемо обчислити ймовірність, оскільки розподіл t студента має обмеження щодо отримання значення, а отже, це корисно лише для менших розмірів вибірки. Також для обчислення ймовірності після підрахунку балів потрібно знайти значення цього з таблиці розподілу студента t.
Приклади
Ви можете завантажити цей шаблон T Distribution Excel тут - T Distribution Excel TemplateПриклад №1
Розглянемо такі змінні, які вам надані:
- Середнє населення = 310
- Стандартне відхилення = 50
- Розмір вибірки = 16
- Середнє значення вибірки = 290
Обчисліть значення t-розподілу.
Рішення:
Для розрахунку розподілу Т використовуйте наступні дані.
Отже, розрахунок розподілу Т можна зробити наступним чином -
Тут наведені всі значення, нам просто потрібно включити ці значення.
Ми можемо використовувати формулу розподілу t
Значення t = (290 - 310) / (50 / √16)
Значення T = -1,60
Приклад №2
Компанія SRH стверджує, що її працівники на рівні аналітиків заробляють в середньому 500 доларів на годину. Вибирається вибірка з 30 співробітників на рівні аналітика, і їх середній заробіток на годину становив 450 доларів США з відхиленням вибірки в 30 доларів США, і вважаючи, що їх твердження відповідає дійсності, обчисліть значення t-розподілу, яке буде використано для пошуку ймовірності t - розподіл.
Рішення:
Для розрахунку розподілу Т використовуйте наступні дані.
Отже, розрахунок розподілу Т можна зробити наступним чином -
Тут наведені всі значення, нам просто потрібно включити ці значення.
Ми можемо використовувати формулу розподілу t
Значення t = (450 - 500) / (30 / √30)
Значення T = -9,13
Отже, значення для t балів дорівнює -9,13
Приклад №3
Універсальна рада коледжу провела тест на рівень IQ для 50 випадково обраних професорів. І результатом, який вони виявили з цього результату, був середній бал рівня IQ 120 із дисперсією 121. Припустимо, що показник t становить 2,407. Що означає сукупність для цього тесту, який би виправдав значення оцінки t як 2,407?
Рішення:
Для розрахунку розподілу Т використовуйте наступні дані.
Тут усі значення наведені разом із значенням t, нам потрібно обчислити середнє значення сукупності замість значення t цього разу.
Знову ж таки, ми скористаємося наявними даними та обчислимо середні сукупності, вставивши значення, наведені у формулі нижче.
Середнє значення вибірки - 120, середнє значення популяції невідомо, стандартним відхиленням вибірки буде квадратний дисперсійний корінь, який становив би 11, а розмір вибірки - 50.
Отже, розрахунок середньої сукупності (μ) можна зробити наступним чином -
Ми можемо використовувати формулу розподілу t
Значення t = (120 - μ) / (11 / √50)
2,407 = (120 - мкм) / (11 / √50)
-μ = -2,407 * (11 / √50) -120
Середнє населення (μ) буде -
μ = 116,26
Отже, значення для середнього населення буде 116,26
Актуальність та використання
Розподіл Т (і ті пов'язані з ними значення балів t) використовується для перевірки гіпотез, коли потрібно з'ясувати, чи слід відхиляти чи приймати нульову гіпотезу.
На наведеному графіку центральною областю буде область прийняття, а хвостовою - область відхилення. На цьому графіку, який є двостороннім тестом, синім кольором буде область відхилення. Область у хвостовій області може бути описана або за допомогою t-балів, або z-балів. Візьмемо приклад, на зображенні зліва буде зображена площа в хвостах п’яти відсотків (що становить 2,5% з обох сторін). Z-бал повинен становити 1,96 (беручи значення з z-таблиці), що повинно представляти 1,96 стандартних відхилень від середнього або середнього. Нульову гіпотезу можна відхилити, якщо значення z оцінки менше значення -1,96 або значення z оцінки більше 1,96.
Взагалі, цей розподіл повинен використовуватися, як було описано раніше, коли обсяг вибірки менший (здебільшого менше 30) або якщо хтось не знає, яка дисперсія чи стандартне відхилення популяції. З практичних цілей (що є в реальному світі) це в основному завжди має місце. Якщо розмір зразка, який надається, є достатньо великим, тоді два розподіли будуть практично подібними.