Що таке крива дзвона?
Крива Белла - це звичайний розподіл ймовірностей змінних, який наноситься на графік і схожий на форму дзвоника, де найвища або верхня точка кривої представляє найбільш вірогідну подію з усіх даних серії.
Формула кривої дзвона, як показано нижче:
Де,
- μ є середнім
- σ - стандартне відхилення
- π дорівнює 3,14159
- e - 2,71828
Пояснення
- Середнє значення позначається μ, що позначає центр або середину точки розподілу.
- Горизонтальна симетрія щодо вертикальної лінії, яка дорівнює x = μ, оскільки в показнику є квадрат.
- Стандартне відхилення позначається σ і пов’язане із поширенням розподілу. Зі збільшенням σ нормальний розподіл розповсюджуватиметься все більше. Зокрема, пік розподілу не такий високий, і хвіст розподілу повинен стати товщі.
- π є постійною pi і має нескінченне значення, яке не повторює десяткове розширення.
- e являє собою іншу константу, а також трансцендентальне та ірраціональне, як pi.
- В експоненті є непозитивний знак, а решта доданків у квадраті в експоненті. Що означає, що показник степеня завжди буде від’ємним. І через це функція є зростаючою функцією для всіх середніх x μ.
- Інша горизонтальна асимптота відповідає горизонтальній лінії y, яка дорівнює 0, що означало б, що графік функції ніколи не торкається осі х і матиме нуль.
- Квадратний корінь у виразі excel нормалізує формулу, що означає, що коли інтегрується функція пошуку області під кривою, де вся область буде знаходитися під кривою, і вона одна, і це відповідає 100%.
- Ця формула пов'язана з нормальним розподілом і використовується для обчислення ймовірностей.
Приклади
Завантажити цей шаблон формули формули кривої дзвоника можна тут - Шаблон Excel формули кривої дзвоникаПриклад №1
Вважайте середнє значення, яке вам дано, наприклад 950, стандартне відхилення - 200. Вам потрібно обчислити y для x = 850, використовуючи рівняння кривої дзвона.
Рішення:
Для розрахунку використовуйте наступні дані
По-перше, нам дано всі значення, тобто середнє значення - 950, стандартне відхилення - 200, а х - 850, нам просто потрібно підключити цифри у формулі та спробувати обчислити y.
Формула кривої у формі дзвона, як показано нижче:
y = 1 / (200√2 * 3,14159) ^ e- (850 - 950) / 2 * (200 ^ 2)
y буде -
y = 0,0041
Після виконання наведеної вище математики (перевірте шаблон Excel) ми отримаємо значення y як 0,0041.
Приклад №2
Суніта є бігункою і готується до майбутньої Олімпіади, і вона хоче визначити, що гонка, яку вона збирається взяти, має ідеальний розрахунок часу, оскільки роздвоєння затримки може призвести до золота в Олімпіаді. Її брат - статистик, і він зазначив, що середній час її сестри становить 10,33 секунди, тоді як стандартне відхилення часу - 0,57 секунди, що є досить ризикованим, оскільки така роздвоєна затримка може призвести до виграшу золота на Олімпійських іграх. Використовуючи рівняння кривої у формі дзвона, яка ймовірність того, що Суніта завершить гонку за 10,22 секунди?
Рішення:
Для розрахунку використовуйте наступні дані
По-перше, нам дано всі значення, тобто середнє значення - 10,33 секунди, стандартне відхилення - 0,57 секунди, а х - 10,22, нам просто потрібно підключити цифри у формулі та спробувати обчислити y.
Формула кривої дзвона, як показано нижче:
y = 1 / (0,57√2 * 3,14159) ^ e- (850 - 950) / 2 * (200 ^ 2)
y буде -
y = 0,7045
Після виконання наведеної вище математики (перевірте шаблон Excel) ми отримаємо значення y як 0,7045.
Приклад №3
Hari-baktii limited - аудиторська фірма. Нещодавно він отримав обов'язковий аудит банку ABC, і вони зазначили, що протягом останніх кількох перевірок вони відібрали неправильну вибірку, яка вводила в оману представлення сукупності, наприклад у випадку дебіторської заборгованості, зразок, який вони забрали, відображав, що дебіторська заборгованість була справжньою, але пізніше було виявлено, що населення дебіторської заборгованості мало багато фіктивних записів.
Тож зараз вони намагаються проаналізувати, яка ймовірність відбору поганої вибірки, яка б узагальнила сукупність як правильну, навіть незважаючи на те, що вибірка не була правильним поданням цієї сукупності. У них є помічник статті, який добре володіє статистикою, і нещодавно він дізнався про рівняння кривої дзвона.
Тож він вирішує використовувати цю формулу, щоб знайти ймовірність відбору щонайменше 7 неправильних зразків. Він увійшов в історію фірми і виявив, що середня неправильна вибірка, яку вони збирають у популяції, становить від 5 до 10, а стандартне відхилення - 2.
Рішення:
Для розрахунку використовуйте наступні дані
По-перше, нам потрібно взяти середнє значення з 2 чисел, тобто для середнього значення (5 + 10) / 2, яке дорівнює 7,50, стандартне відхилення як 2 і x як 7, нам просто потрібно підключити цифри у формулі та спробувати для обчислення y.
Формула кривої дзвона, як показано нижче:
y = 1 / (2√2 * 3,14159) ^ e- (7 - 7,5) / 2 * (2 ^ 2)
y буде -
y = 0,2096
Після виконання наведеної вище математики (перевірте шаблон Excel) ми отримаємо значення y як 0,2096
Отже, існує 21% шансів, що цього разу вони також можуть взяти 7 неправильних зразків в аудиті.
Актуальність та використання
Ця функція буде використана для опису фізичних подій, тобто кількість подій неоднозначна. Простими словами, можливо, не вдасться передбачити, який результат матиме результат, якщо буде проведена ціла тонна спостережень, але можна передбачити, що ці цілі будуть робити в цілому. Візьмемо приклад, припустимо, що є газовий посуд із постійною температурою, нормальний розподіл або крива дзвона дозволить цій людині з'ясувати ймовірність однієї частинки, яка повинна рухатися з певною швидкістю.
Фінансовий аналітик часто використовує нормальний розподіл ймовірностей або називає криву дзвоника, аналізуючи прибутки загальної ринкової чутливості або безпеки.
Наприклад, запаси, які демонструють криву дзвону, як правило, є блакитними фішками, і вони повинні мати меншу волатильність і часто більше поведінкових моделей, які повинні бути передбачуваними, і, отже, вони використовують нормальний розподіл ймовірності або криву дзвону попередньої прибутковості акцій, щоб зробити припущення щодо очікуваної прибутковості.