Експоненціальний розподіл (визначення, формула) | Як розрахувати?

Що таке експоненціальний розподіл?

Експоненціальний розподіл відноситься до безперервного та постійного розподілу ймовірностей, який фактично використовується для моделювання періоду часу, який людині потрібно зачекати до того, як відбудеться дана подія, і цей розподіл є безперервним аналогом геометричного розподілу, який натомість є чітким.

Формула експоненціального розподілу

Кажуть, що безперервна випадкова величина x (із параметром шкали λ> 0) має експоненціальний розподіл лише в тому випадку, якщо її функцію щільності ймовірності можна виразити множенням параметра масштабу на експоненційну функцію мінус-параметра масштабу та x для всіх x, більших за дорівнює нулю, інакше функція щільності ймовірності дорівнює нулю.

Математично функція щільності ймовірності представляється як,

такі, що середнє дорівнює 1 / λ, а дисперсія дорівнює 1 / λ2.

Розрахунок експоненціального розподілу (крок за кроком)

  • Крок 1: По-перше, спробуйте з’ясувати, чи є подія, що розглядається, безперервною та незалежною за своєю суттю і відбувається з приблизно постійною швидкістю. Будь-яка практична подія забезпечить, щоб змінна була більшою або дорівнювала нулю.
  • Крок 2: Далі визначте значення параметра шкали, яке незмінно є зворотним середнім значенням.
    • λ = 1 / середнє
  • Крок 3: Потім помножте параметр шкали λ і змінну x, а потім обчисліть експоненціальну функцію продукту, помножену на мінус один, тобто e– λ * x.
  • Крок 4: Нарешті, функція щільності ймовірності обчислюється множенням експоненціальної функції та параметра масштабу.

Якщо наведена вище формула справедлива для всіх x, більших або рівних нулю, то x є експоненціальним розподілом.

Приклад

Завантажити цей шаблон експоненціального розподілу Excel можна тут - Шаблон Excel експоненціального розподілу

Давайте візьмемо приклад, x - час, який витрачається (у хвилинах) офісним працівником на доставку від робочого столу менеджера до робочого столу. Прийнято, що функція часу має експоненціальний розподіл із середньою кількістю часу, що дорівнює п’яти хвилинам.

Враховуючи, що x є неперервною випадковою величиною, оскільки час вимірюється.

Середнє, μ = 5 хвилин

Отже, параметр масштабу, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Отже, функцію ймовірності експоненціального розподілу можна отримати як,

f (x) = 0,20 e– 0,20 * x

Тепер обчисліть функцію ймовірності при різних значеннях x, щоб отримати криву розподілу.

Для x = 0

функція ймовірності експоненціального розподілу для x = 0 буде,

Подібним чином обчисліть експоненціальну функцію ймовірності розподілу для x = 1 до x = 30

  • Для x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,0200
  • Для x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
  • Для x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
  • Для x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
  • Для x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
  • Для x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
  • Для x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
  • Для x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
  • Для x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
  • Для x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
  • Для x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
  • Для x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
  • Для x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
  • Для x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
  • Для x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
  • Для x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
  • Для x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
  • Для x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
  • Для x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
  • Для x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
  • Для x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
  • Для x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
  • Для x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
  • Для x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
  • Для x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
  • Для x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
  • Для x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
  • Для x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
  • Для x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
  • Для x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
  • Для x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Ми отримали криву розподілу наступним чином,

Актуальність та використання

Хоча припущення про постійну швидкість дуже рідко задовольняється у реальних сценаріях, якщо інтервал часу обраний таким чином, що швидкість є приблизно постійною, тоді експоненціальний розподіл може бути використаний як хороша приблизна модель. Він має багато інших застосувань у галузі фізики, гідрології тощо.

У статистиці та теорії ймовірностей вираз експоненціального розподілу відноситься до розподілу ймовірностей, який використовується для визначення часу між двома послідовними подіями, які відбуваються незалежно та безперервно із постійною середньою швидкістю. Це одне з широко використовуваних безперервних розподілів, і воно суворо пов'язане з розподілом Пуассона в Excel.